Question

4．如图①，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把$\frac{a}{h}$的比值叫做这个菱形的“形变度”．
（Ⅰ）当形变后的菱形有一个内角是60°时，则这个菱形的“形变度”为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）如图②，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，△AEF（E、F是小正方形的顶点）同时形变为△A′E′F′，设这个菱形的“形变度“为k，△A′E′F′的面积为S，当$\frac{A′C′}{B′D′}$=$\frac{4k}{3}$时，S的值等于$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用“形变度”的定义直接计算即可；
（Ⅱ）先确定出S与k的函数关系式，用形变度和菱形的面积求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，sin60°=$\frac{h}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{a}{h}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；                                            
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（Ⅱ）如图，过D′作D′G⊥A′B′，垂足为G，A′C′与B′D′相交于O，
则$\frac{A′D′}{D′G}$=k，
∵A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=4，
∴D'G=$\frac{4}{k}$，
∵S_△AEF=3×4-$\frac{1}{2}×$2×4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3=4，
∵这个菱形的“形变度“为k，
∴△A′E′F′的形变度“为k，
∴S=$\frac{4}{k}$，
∴S是k的反比例函数．                                          
当 $\frac{A′C′}{B′D′}$=$\frac{4k}{3}$时，$\frac{\frac{1}{2}A′C′}{\frac{1}{2}B′D′}$=$\frac{4k}{3}$，
∴$\frac{A′O}{D′O}$=$\frac{4k}{3}$，
设A′O=4kt，D′O=3t，
∴（4kt）²+（3t）²=16，
∴t²=$\frac{16}{16k+9}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$A′C′•B′D′=$\frac{16}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$×8kt×6t=$\frac{16}{k}$，
即24kt²=$\frac{16}{k}$，
∴k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴S=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义，图形形变前后的图形的形状，面积的计算，勾股定理，解本题的关键是理解新定义．