Question

18．关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x-3=0．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到m-1≠0且△=2²-4（m-1）×（-3）=12m-8＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先把x=1代入原方程得到m的一元一次方程，求出m的值，从而确定原一元二次方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得到方程的另一个解．

解答 解：（1）由题意知，m-1≠0，所以m≠1．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=2²-4（m-1）×（-3）=12m-8＞0，
解得：m＞$\frac{2}{3}$，
综上所述，m的取值范围是m＞$\frac{2}{3}$且m≠1；

（2）把x=1代入原方程，得：m-1+2-3=0．
解得：m=2．
把m=2代入原方程，得：x²+2x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=-3．
∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是-3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及解法．