Question

3．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D，F分别为AB，AC的中点，过D，F，C三点的⊙O交AB于点G，连接CG，CD，作DE⊥CD，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanA=$\frac{3}{4}$，求cos∠ADE的值．

Answer 1

分析 （1）连接DF，根据三角形中位线定理即可证得∠DFC=90°，根据圆周角定理得出DC是直径，即可判定DE是⊙O的切线；
（2）根据已知证得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，由D为AB的中点，得出CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，进一步求得CG=$\frac{12}{5}$x，从而求得cos∠DCG=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{24}{25}$，根据同角的余角相等得出∠ADE=∠DCG，即可求得cos∠ADE=$\frac{24}{25}$．

解答 （1）证明：连接DF，
∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴∠DFC+∠ACB=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFC=90°，
∴DC是直径，
∵DE⊥CD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，
∵D为AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵sin∠A=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴CG=$\frac{3x}{5x}$•4x=$\frac{12}{5}$x，
∴$\frac{CG}{CD}$=$\frac{\frac{12x}{5}}{\frac{5x}{2}}$=$\frac{24}{25}$，
∴cos∠DCG=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{24}{25}$，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDC=90°，
∵DC是直径，
∴∠DGC=90°，
∴∠DCG+∠GDC=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
∴cos∠ADE=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理以及直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．