Question

3．在一次海事活动中，我“海巡01号”轮船上午9时位于海面上的A处，观测到某小岛P位于它的北偏西67.5°方向上，该船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时到达B处，这时观测到小岛P位于该船的南偏西30°方向，求此时轮船所处位置B与小岛P的距离？（结果精确到0.1，参考数据：sin67.5°=$\frac{12}{13}$，cos67.5°=$\frac{5}{13}$，tan67.5°=$\frac{12}{5}$，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，继而求得答案．

解答 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A=$\frac{PC}{AC}$，
∴AC=$\frac{PC}{tan67.5°}$=$\frac{5x}{12}$．
在Rt△PCB中，∵tan∠B=$\frac{PC}{BC}$，
∴BC=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，PB=2PC=2x．
∵AC+BC=AB=21×5，
∴$\frac{5x}{12}$+$\sqrt{3}$x=105，
解得x≈48.86，
∴PB=2x≈97.7（海里）．
答：此时轮船所处位置B与小岛P的距离约为97.7海里．

点评 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．