Question

11．直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则M的坐标为（0，3）．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB的长度，结合勾股定理可得出AB的长度，根据折叠的性质可得出AM平分∠BAO．（方法一）设OM=m，则BM=8-m，根据角平分线的性质可得出$\frac{BM}{AB}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{10-m}{10}$=$\frac{m}{6}$，解之即可得出点M的坐标；（方法二）过点M作MN⊥AB于N，设MO=n，则MN=MO=n，BM=8-n，根据相似三角形的性质（或者正弦的定义）可得出$\frac{MN}{AO}$=$\frac{BM}{BA}$，即$\frac{n}{6}$=$\frac{8-n}{10}$，解之即可得出点M的坐标．

解答 解：当x=0时，y=-$\frac{4}{3}$x+8=8，
∴点B（0，8），OB=8；
当y=-$\frac{4}{3}$x+8=0时，x=6，
∴点A（6，0），OA=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
根据折叠的性质可知：∠BAM=∠B′AM，
∴AM平分∠BAO．
（方法一）设OM=m，则BM=8-m，
∵AM平分∠BAO，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{OM}{OA}$，即$\frac{10-m}{10}$=$\frac{m}{6}$，
解得：m=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（方法二）过点M作MN⊥AB于N，如图所示．
设MO=n，则MN=MO=n，BM=8-n．
∵∠ABO=∠MBN，∠AOB=∠MNB=90°，
∴△ABO∽△MBN，
∴$\frac{MN}{AO}$=$\frac{BM}{BA}$，即$\frac{n}{6}$=$\frac{8-n}{10}$，
解得：n=3，
∴点M的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、解一元一次方程，相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质，根据角平分线的性质或者相似三角形的性质，列出一元一次方程是解题的关键．