Question

如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F．
（1）求证：AEPF是矩形；
（2）D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．

Answer 1

考点：矩形的判定,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先利用平行线的定义判定平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形；
（2）再根据矩形的性质可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点可得出AD=BC再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，进而可得出结论．

解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥AF，
∴PF∥AE，
∴AEPF是平行四边形，
∵PE⊥AB，
∴AEPF是矩形；

（2）连接DA，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴DA=DC，∠DAE=∠DCF=135°，
又由（1）知AE=PF，△CFP是等腰直角三角形，
∴CF=PF=AE，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF

点评：本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．