Question

3．如图，直线AC∥BD，AE、AO、BO分别是∠CAF、∠BAC、∠ABD的平分线．求证：
（1）AE∥BO；
（2）AE⊥AO．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可；
（2）根据角平分线的定义和垂直的定义证明即可．

解答 证明：（1）∵AC∥BD，∠FAC=∠ABD，
∵AE、AO、BO分别是∠CAF、∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠FAE=∠ABO，
∴AE∥BO；
（2）∵AE、AO、BO分别是∠CAF、∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠FAE=∠EAC，∠CAO=∠OAB，
∴∠FAE+∠OAB=∠EAC+∠CAO，
∵∠FAE+∠OAB+∠EAC+∠CAO=180°，
∴∠EAC+∠CAO=90°，
∴AE⊥AO．

点评 此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义、垂直的定义和平行线的判定证明．