Question

4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，对角线AC与BD相交于点O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．
（1）求证：△SPQ是等边三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△SPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）连接SC、PB，根据等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线可判断出答案；
（2）根据等腰梯形的性质及∠ABD=60°可求出等边三角形的边长，从而可得出答案．

解答 解：（1）连接SC、PB，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，
又∵DC=CD，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，
∵∠ACD=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∵S为OD的中点，
∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，
又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，
∴PS=$\frac{1}{2}$AD，SQ=$\frac{1}{2}$BC，PQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴△SPQ是等边三角形；

（2）如图2，作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB=5，CD=3，
∴AE=$\frac{5-3}{2}$=1，BE=5-1=4，
∵由①得，△OCD是等边三角形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴DE=BE•tan60°=4$\sqrt{3}$．
在Rt△ADE中，
∵AD=$\sqrt{{AE}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{（4\sqrt{3}）}^{2}}$=7，
∴PS=PQ=SQ=$\frac{7}{2}$，
∴S_△PQS=$\frac{49\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查等腰梯形及等边三角形的知识，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解．