Question

【题目】在平面直角坐标系中，点 A(2，0)，B(0，4),点 C 在第一象限.

（1）如图 1，连接 AB、BC、AC，∠OBC=90°，∠BAC=2∠ABO,求点 C 的坐标；

（2）动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴负方向运动，连接 AP，设 P 点的 运动时间为 t 秒，△AOP 的面积为 S，用含 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；

（3）如图 2，在（1）条件下，点 P 在线段 OB 上，连接 AP、PC,AB 与 PC 相交于点 Q,当S=3, ∠BAC=∠BPC 时，求△ACQ 的面积.

图 1 图 2

Answer 1

【答案】（1）C（4,4）；（2）；（3） .

【解析】分析: （1） 作AD⊥BC于D,可得D（4,2），BD=2,根据△ABD≌△ACD，得BC=4，从而

可知C点坐标.

（2）分两种情况根据三角形的面积公式即可求出,一种是当时,此时点P在OB上;另一种是点P在x轴负半轴上运动时,此时.

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G,可得BP=3,OP=1,由（1）中△ABD≌△ACD得AB=AC,易证△ACE≌△ABO, △AOP≌△AEP,从而得PC=5由面积法，可求BF=2.4,从而AE:BF=5:6由面积法得,因此.

详解:

（1） 过点A作AD⊥BC于D,

∵点 A(2，0)，B(0，4), ∠OBC=90°，

∴D（4,2），

∴BD=2,

∵∠BAC=2∠ABO,

∴∠BAD=∠CAD,

又∵AD=AD, ∠ADB=∠ADC,

∴△ABD≌△ACD，

∴BC=4，

∴C（4,4）

（2）当点P在OB上时,,

由题意得OA=2,OP=4-2t,

∴S=2×(4-2t) ×=4-2t;

当点P在x轴负半轴上时,,

由题意得OA=2,OP=2t- 4,

∴S=2×(2t- 4) ×=2t- 4;

综上,

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G

∵S=3,

∴可得BP=3,OP=1

由（1）△ABD≌△ACD

∴AB=AC

∵∠BAC=∠BPC

∴∠ACP=∠ABP

易证△ACE≌△ABO,

△AOP≌△AEP,

∴CE=BO=4,OP=EP=1，

AO=AE=2

∴PC=5（1分）

由面积法，可求BF=2.4

∴AE:BF=5:6

由面积法,

∴