Question

5．如图，已知△OAB和△0CD都是等腰直角三角形，点O是直角顶点，OA=10，OC=6$\sqrt{2}$，将△OCD绕点O旋转，使CD与OB相交于点E，当△BDE变成直角三角形时，线段AC的长为2或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 先根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=10，OC=OD=6$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COD=90°，则利用旋转的定义可把△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△BOD，则AC=BD，接着分类讨论：当∠BED=90°，如图1，根据等腰直角三角形的性质的CD=12，OE=CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=6，则BE=OB-OE=4，于是利用勾股定理可计算出BE=2$\sqrt{13}$；当∠BDE=90°时，如图2，作OF⊥BD于F点，先判断△ODF为等腰直角三角形，则OF=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=6，然后在Rt△OBF中利用勾股定理得到6²+（6+BD）²=10²，解方程得到BD=2，则AC=2，综上所述，AC的长为2或2$\sqrt{13}$．

解答 解：∵△OAB和△0CD都是等腰直角三角形，
∴OA=OB=10，OC=OD=6$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COD=90°，
∴△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△BOD，
∴AC=BD，
当∠BED=90°，如图1，
∵OE⊥CD，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$=12，
OE=CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=6，
∴BE=OB-OE=10-6=4，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
∴AC=2$\sqrt{13}$，
当∠BDE=90°时，如图2，作OF⊥BD于F点，
∵△OCD为等腰直角三角形，
∴∠ODC=45°，
而∠BDE=90°，
∴∠ODF=45°，
∴△ODF为等腰直角三角形，
∴OF=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
在Rt△OBF中，∵OF²+BF²=OB²，
∴6²+（6+BD）²=10²，
∴BD=2，
∴AC=2，
综上所述，AC的长为2或2$\sqrt{13}$．
故答案为2或2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．求AC转化为求BD是解决本题的关键．