Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．
（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（2）当点P运动的时间为$\frac{3}{2}$秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CF=DP，OF=PF，根据题意得到AF=EF，又CF=DP，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据题意计算出OC、OP的长，根据勾股定理求出AC、CE，根据平行四边形的周长公式计算即可．

解答 （1）证明：连接CD交AE于F，
∵四边形PCOD是平行四边形，
∴CF=DF，OF=PF，
∵PE=AO，
∴AF=EF，又CF=DP，
∴四边形ADEC为平行四边形；
（2）解：当点P运动的时间为$\frac{3}{2}$秒时，OP=$\frac{3}{2}$，OC=3，
则OE=$\frac{9}{2}$，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$，
∵四边形ADEC为平行四边形，
∴周长为（3$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}\sqrt{13}$）×2=6$\sqrt{2}$+3$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．