Question

14．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D是AB的中点，AE=CF．
（1）猜想：DE与DF的数量和位置关系分别为相等、垂直；
（2）证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据图形可得猜想DE=DF，DE⊥DF；
（2）首先根据等腰三角形三线合一的性质可得∠DCF=$\frac{1}{2}∠$ACB=45°，由直角三角形的性质可得AD=CD，然后证明△AED≌△CFD可得ED=DF，∠EDA=∠CDF，再证明△DFB≌△DEC可得∠EDC=∠FDB，进而可得到ED⊥DF．

解答 （1）解：DE=DF，DE⊥DF；

（2）证明：连接CD，
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=45°，
∵D是AB的中点，∠C=90°，
∴AD=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}∠$ACB=45°，
在△AED和△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴ED=DF，
∴∠EDA=∠CDF，∠AED=∠DFC，
∴∠CED=∠DFB，
∵AC=BC，AE=CF，
∴CE=BF，
在△CED和△BFD中$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠CED=∠BFD}\\{ED=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DEC（SAS），
∴∠EDC=∠FDB，
∵∠ADE+∠EDC+∠CDF+∠FDB=180°，
∴∠EDF=90°，
∴ED⊥DF．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．