Question

19．△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，
（1）求证：AE⊥EC；
（2）探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据等式的性质可得∠BAD=∠CAE，然后再利用SAS定理判定△BAD≌△CAE，进而可得∠AEC=∠ADB=90°，从而可得结论；
（2）截取CN=CF，由△BAD≌△CAE可得BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，再证明△BDF≌△CEN，推出BF=CN=CF即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
在△BAD和△CAE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CE；


（2）解：截取CN=CF，
∵FD=NC，
∴∠CFN=∠CNF，
∴∠ENC=∠BFD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°-∠BDA=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDF=∠NEC，
在△BDF和△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CNE}\\{∠BDF=∠CEN}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CEN（AAS），
∴BF=CN=CF，
即BF=CF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确掌握全等三角形的判定定理，作出辅助线．