Question

12．在直角坐标系xOy中，等边△PQM的顶点P、Q在x轴上，点M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上．
（1）当点P与原点重合，且等边△PQM的边长为2时，求反比例函数的表达式；
（2）当P点坐标为（1，0）时，点M在（1）中的反比例函数图象上，求等边△PQM的边长；
（3）若P点坐标为（t，0），在（1）中的反比例函数图象上，符合题意的正△PQM恰好有三个，求t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过M作MN⊥PQ于N，求出点M坐标即可解决．
（2）分两种情形讨论①P在Q左边如图2，过M作MN⊥PQ于N，设△PQM的边长为2a，则PN=$\frac{1}{2}$PQ=a，MN=$\sqrt{3}$a，得到M（1+a，$\sqrt{3}$a）或（-1-a，-$\sqrt{3}$a）再用待定系数法即可解决问题．②P在Q右边．
（3）如图3中，△PQ″M″是等边三角形，当直线PM″与双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$只有一个交点时，符合题意的正△PQM恰好有三个，关键方程组，利用判别式即可解决．

解答 解：（1）如图1，假设点M在第一象限，过M作MN⊥PQ于N，

∵△PQM是等边三角形，
∴PN=$\frac{1}{2}$PQ=1，MN=$\sqrt{3}$，
∴M（1，$\sqrt{3}$），
∵点M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$，
（当点M在第三象限时，同法可得k=$\sqrt{3}$），
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）①当P在Q左边，如图2，过M作MN⊥PQ于N，

∵△PQM是等边三角形，
设△PQM的边长为2a，
∴PN=$\frac{1}{2}$PQ=a，MN=$\sqrt{3}$a，
∴M（1+a，$\sqrt{3}$a），或（-1-a，-$\sqrt{3}$a），
∵点M在反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴（1+a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
解得：a=|$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$|，
∴等边△PQM的边长为$\sqrt{5}$+1，或$\sqrt{5}$-1；
②当P在Q右边时，同法可得M（1-a.$\sqrt{3}$a），
∴（1-a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，整理得a²-a+1=0，△＜0不存在．

（3）如图3中，△PQ″M″是等边三角形，

当直线PM″与双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$只有一个交点时，符合题意的正△PQM恰好有三个，
∵直线PM″的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$消去y得到x²-tx+1=0，
由题意△=0，
∴t²-4=0
∴t=±2．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数、方程组、根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程组确定两个函数图象的交点问题，属于中考压轴题．