Question

8．如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=∠BCE=90°．点M为BC边上一点，连接EM、BD交于点N，点N恰好是BD中点，连接AN．
（1）求证：MN=EN；
（2）连接AM、AE，请探究AN与EN的位置关系与数量关系．
①写出AN与EM：位置关系AN⊥EM；数量关系AN=$\frac{1}{2}$EM；
②请证明上述结论．

Answer 1

分析 （1）由∠CED=∠BCE=90°，可证得BC∥DE，然后由点N恰好是BD中点，利用ASA可证得△BMN≌△DEN，继而证得结论；
（2）首先连接AM，AE，由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易证得△ABM≌△ACE，则可证得△AME是等腰直角三角形，继而证得AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

解答 （1）证明：∵∠CED=∠BCE=90°，
∴BC∥DE，
∴∠MBN=∠EDN，
∵点N恰好是BD中点，
∴BN=DN，
在△BMN和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠EDN}\\{BN=DN}\\{∠BNM=∠DNE}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△DEN（ASA），
∴MN=EN；

（2）①位置关系：AN⊥EM，数量关系：AN=$\frac{1}{2}$EM．
故答案为：AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

②证明：连接AM，AE，
∵△BMN≌△DEN，
∴BM=DE，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，
∴BM=CE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ABM=∠ACE，
在△ABM和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACE}\\{BM=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，
即∠MAE=∠BAC=90°，
∵MN=EN，
∴AN⊥EM，AN=$\frac{1}{2}$EM．

点评 此题属于三角形的综合题．考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．