Question

8．如图，已知点B的坐标为（10，0），点P（t，0）是OB上的一个动点，在x轴上方作等边△OPE和△BPF，连接EF，G为EF的中点．
（1）当t=5时，EF∥OB；
（2）双曲线y=$\frac{k}{x}$过点G，PG=$\frac{\sqrt{79}}{2}$时，则k=10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，根据等边三角形的性质得EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，所以EM=FN时，EF∥OB，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H点，则GH为梯形EMNF的中位线，根据梯形中位线的性质得GH=$\frac{1}{2}$（EM+FN）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{5}{2}$，得到PH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分别确定G点坐标，再代入反比例函数解析式可得到k的值．

解答 解：（1）如图，作EM⊥OB于M点，FN⊥OB于N点，

∵△OPE和△BPF都是等边三角形，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，
当EM=FN时，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PO=t，PB=10-t
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），
∴t=5；
故答案为：5．

（2）作GH⊥OB于H点，
∵G为EF的中点，
∴GH为梯形EMNF的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$（EM+FN）=$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）]=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{1}{2}$[t+$\frac{1}{2}$（10-t）-$\frac{1}{2}$t]=$\frac{5}{2}$，
∴PH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，
∴t₁=3，t₂=7，
当t=3时，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$t=4，
∴G点坐标为（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把G（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；
当t=7时，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{t}{2}$=6，
∴G点坐标为（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把G（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=6×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$；
∴k的值为10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．
故答案为：10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其函数解析式，运用待定系数法求函数的解析式；掌握等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系和勾股定理．