Question

20．已知，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，且∠AFD=∠DBE，∠DBE=∠CDE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABCD是平行四边形，结合已知条件，只需推知AB∥DC即可；
（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分线的性质和平行线的判定以及平行四边形的判定方法证明四边形ABCD为平行四边形，再证明AB=AD即可证明：四边形ABCD是菱形．

解答 （1）证明：∵∠AFD=∠DBE，∠DBE=∠CDE，
∴∠AFD=∠CDE，
∴AB∥DC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．           

（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1． 
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠ADB=∠2，
∴AB=AD，而四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题综合性的考查了平行线的判定和性质、平行四边形的判定及性质和菱形的判定方法，题目的综合性较强．