Question

4．如图，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上
（1）求证：∠OCB=∠ABE；
（2）求OC长的取值范围；
（3）若D的坐标为（m，n），请说明n随m的变化情况．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；
（2）过A作AF⊥x轴于F，证△COB∽△BFA，得出比例式，设OB=x，则BF=4-x，求出OC=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，即可得出答案；
（3）求出n=-$\frac{1}{2}$（m-6）²+4，根据二次函数的性质得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBA=∠COB=90°，
∴∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，
∴∠OCB=∠ABE；

（2）解：如图1，过A作AF⊥x轴于F，则∠COB=∠BFA=90°，

∵∠OCB=∠ABF，
∴△COB∽△BFA，
∴$\frac{CO}{BF}$=$\frac{OB}{AF}$，
∵A（4，2），
∴AF=2，OF=4，
设OB=x，则BF=4-x，
代入求出OC=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵C在y轴的正半轴上，
∴OC的范围是0＜OC≤2；

（3）解：如图2，过D作DM⊥y轴于M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，DC=AB，
∴∠DMC=∠DCA=90°，
∴∠MDC+∠MCD=90°，∠MCD+∠OCB=90°，
∴∠MDC=∠OCB=∠ABF，
在△DMC和△BFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠ABF}\\{∠DMC=∠AFB=90°}\\{DC=AB}\end{array}\right.$
∴△DMC≌△BFA，
∵D的坐标为（m，n），A（4，2），
设OB=x，BF=4-x，
∴MC=2，OM=n，DM=m=BF=4-x，
∴由（2）知：$\left\{\begin{array}{l}{n-2=-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+2①}\\{m=4-x②}\end{array}\right.$
由②知：x=m-4，
代入①整理后得：n=-$\frac{1}{2}$（m-6）²+4，
∵m=4-x，B在x轴的正半轴上，n-2=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+2，
∴0＜m＜4，2＜n≤4，
∴当0＜m＜4时，n随m的增大而增大．

点评 本题考查了矩形的性质，二次函数的性质的应用，能根据题意得出二次函数的解析式是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．