Question

14．如图，抛物线y=$\frac{1}{{t}^{2}}$（x+t）（x-3t）交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，点D，E均在抛物线上，且CD∥x轴，∠EAD=2∠ADC，求$\frac{AD}{AE}$的值．

Answer 1

分析 点D、E分别做x轴的垂线，用t表示点A、B的坐标，根据CD∥AB确定点D的坐标，证明△ADM∽△AEN，得到成比例线段，代入计算即可．

解答 解：过点D、E分别做x轴的垂线，垂足为M、N，
由$\frac{1}{{t}^{2}}$（x+t）（x-3t）=0得，x₁=-t，x₂=3t，
则A（-t，0），B（3t，0），
∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2t，-3），∠BAD=∠CDA，
∵∠EAD=2∠ADC，∴∠DAM=∠EAN，又∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$，
设点E的坐标为（x，$\frac{{x}^{2}}{{t}^{2}}$-$\frac{2x}{t}$-3），
则$\frac{3}{\frac{{x}^{2}}{{t}^{2}}-\frac{2x}{t}-3}$=$\frac{3t}{x-（-t）}$，
解得x=4t，∴E（4t，5），
∵AM=AO+OM=t+2t=3t，AN=AO+ON=t+4t=5t，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AM}{AN}=\frac{3}{5}$．

点评 题考查的是二次函数的性质和应用、三角形相似的判定和性质，正确找出辅助线、运用数形结合思想是解题的关键，注意坐标与图形的关系．