Question

12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）①如图1，当∠ABE=45°，$c=2\sqrt{2}$时，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$；
②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

Answer 1

分析 （1）先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
（2）先设AP=m，BP=n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．

解答 解：（1）①当∠ABE=45°，$c=2\sqrt{2}$时，a=$2\sqrt{5}$，b=$2\sqrt{5}$
如图1，

连接EF，则EF是△ABC的中位线
∴EF=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{2}$，
∵∠ABE=45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2，EP=FP=1，
∴AE=BF=$\sqrt{5}$，
∴.$a=b=2\sqrt{5}$
②如图2，

连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2，BP=$2\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，PE=$\sqrt{3}$，PF=1
∴AE=$\sqrt{7}$，BF=$\sqrt{13}$
∴$a=2\sqrt{13}$，$b=2\sqrt{7}$．       
（2）a²+b²=5c²   
如图3，

连接EF，设AP=m，BP=n，
则c²=AB²=m²+n²，
∵EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴PE=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$n，PF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$m，
∴$A{E^2}={m^2}+\frac{1}{4}{n^2}$，$B{F^2}={n^2}+\frac{1}{4}{m^2}$，
∴b²=AC²=4AE²=4m²+n²，a²=BC²=4BF²=4n²+m²
∴a²+b²=5（m²+n²）=5c²．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线，表示出线段是解本题的关键．