Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BC=4，AB=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出AE⊥BC，求出OM∥BC，推出AE⊥OM，根据切线的判定得出即可；
（2）证△AOM∽△ABE，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）AE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OM，
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠EBM，
∵OM=OB，
∴∠ABM=∠OMB，
∴∠OMB=∠EBM，
∴OM∥BC，
∵AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径是R，
∵AB=AC，AE⊥BC，BC=4，
∴BE=CE=2，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴

OM

BE

=

AO

AB

，
∴

R

2

=

6-R

6

，
解得：R=1.5，
即⊙O的半径是1.5．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．