Question

15．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：
将|x₁-x₂|，|x₂-x₃|，|x₃-x₁|中的最大值，称为△ABC的横长，记作D_x；将|y₁-y₂|，|y₂-y₃|，|y₃-y₁|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作D_y；将$\frac{{D}_{y}}{{D}_{x}}$叫做△ABC的纵横比，记作λ=$\frac{{D}_{y}}{{D}_{x}}$．
例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（-1，-2），则D_x=|2-（-1）|=3，D_y=|3-（-2）|=5，
所以λ=$\frac{{D}_{y}}{{D}_{X}}$=$\frac{5}{3}$．

（1）如图2，点A（1，0），
①点B（2，1），E（-1，2），
则△AOB的纵横比λ₁=$\frac{1}{2}$
△AOE的纵横比λ₂=1；
②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；
③点M是双曲线y=$\frac{1}{2x}$上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；
（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，$\sqrt{3}$）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据纵横比的定义计算即可；
②点F在第四象限的角平分线上即可；
③分三种情形讨论即可．
（2）如图3中，当N（0，1+$\sqrt{3}$）时，可得△AON的纵横比λ的最大值=$\frac{1+\sqrt{3}}{1}$=1+$\sqrt{3}$，当AN′与⊙P相切时，切点在第二象限时，可得△AON的纵横比λ的最小值；

解答 解：（1）

由题意△AOB的纵横比λ₁=$\frac{1}{2}$，△AOE的纵横比λ₂=$\frac{2}{2}$=1，
故答案为$\frac{1}{2}$，1．

②由点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，则F（1，-1）（在第四象限的角平分线上即可）．

③如图设M（x_M，y_M）．

a、当0＜x_M≤1时，点M在y=$\frac{1}{2x}$上，则y_M＞0，
此时△AOM的横长D_x=1，△AOM的纵长为D_y=y_M，
∵△AOM的纵横比为1，
∴D_y=1，
∴y_M=1或-1（舍弃），
∴x_M=$\frac{1}{2}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，1）．

b、当x_M＞1时，点M在y=$\frac{1}{2x}$上，则y_M＞0，
此时△AOM的横长D_x=x_M，△AOM的纵长为D_y=y_M，
∵△AOM的纵横比为1，
∴D_y=D_x，
∴x_M=y_M
∴y_M=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍弃），

c、当x_M＜0时，点M在y=$\frac{1}{2x}$上，则y_M＜0，
此时△AOM的横长D_x=1-x_M，△AOM的纵长为D_y=-y_M，
∵△AOM的纵横比为1，
∴1-x_M=-y_M，
∴x_M=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$（舍弃），
∴y_M=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴M′（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
综上所述，点M坐标为（$\frac{1}{2}$，1）或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

（2）如图3中，当N（0，1+$\sqrt{3}$）时，可得△AON的纵横比λ的最大值=$\frac{1+\sqrt{3}}{1}$=1+$\sqrt{3}$，
当AN′与⊙P相切时，切点在第二象限时，可得△AON的纵横比λ的最小值，
∵OP=$\sqrt{3}$，OA=1，
∴PA=2．AN′=$\sqrt{P{A}^{2}-PN{′}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠APN′=$\sqrt{3}$，
∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．
∴∠HPN′=30°，
∴N′H=$\frac{1}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时△AON的纵横比λ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ≤1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查反比例函数综合题、三角形的横长、纵长、纵横比λ的定义、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考创新题目．