Question

3．已知抛物线y=a（x+1）²+k交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），AB=4，顶点E在x轴上方，tan∠EAB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P、Q为对称轴左侧抛物线上的两点（点P在点Q上方），直线PB、QB分别交对称轴于C、D两点，连PQ交x轴于M，四边形ACBD为菱形．
①若CD=AB，求S_△PBQ；
②探究∠PMB的大小是否改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线的对称轴x=-1，顶点E坐标（-1，4），由AB=4，可得A（-3，0），B（1，0），抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4，把B（1，0）代入y=a（x+1）²+4求出a即可；
（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，求出直线BC的解析式，利用方程组求出点P坐标，同法求出点Q坐标即可解决问题；
③结论：∠PMB的大小不变．作QH⊥y轴于H，PN⊥QH于N．由四边形ABCD是菱形，推出直线BC与直线BD关于AB对称，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，0）代入得到b=-k，推出直线BC的解析式为y=kx-k，则直线BD的解析式为y=-kx+k，利用方程组求出点P、Q的坐标，求出tan∠PQN的值即可解决问题；

解答 解：（1）由题意抛物线的对称轴x=-1，顶点E坐标（-1，4），
∵AB=4，
∴A（-3，0），B（1，0），
∴抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4，
把B（1，0）代入y=a（x+1）²+4得到a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）①∵四边形ABCD是菱形，AB=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ABD=45°，
易知C（（-1，2），D（-1，-2），
∴直线BC的解析式为y=-x+1，直线BD的解析式为Y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴P（-2，3），PB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴Q（-4，-5），BQ=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•PB•BQ=$\frac{1}{2}$$•3\sqrt{2}$•5$\sqrt{2}$=15．

②结论：∠PMB的大小不变．
理由：作QH⊥y轴于H，PN⊥QH于N．
∵四边形ABCD是菱形，
∴直线BC与直线BD关于AB对称，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，0）代入得到b=-k，
∴直线BC的解析式为y=kx-k，则直线BD的解析式为y=-kx+k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-b}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-k}\\{y=-{k}^{2}-4k}\end{array}\right.$，
∴P（-3-k，-k²-4k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-kx+k}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=k-3}\\{y=-{k}^{2}+4k}\end{array}\right.$，
∴Q（k-3，-k²+4k）$\frac{（-{k}^{2}-4k）-（-{k}^{2}+4k）}{（-3-k）-（k-3）}$，
∴tan∠PQN=$\frac{（-{k}^{2}-4k）-（-{k}^{2}+4k）}{（-3-k）-（k-3）}$=4，
∴∠PQN是定值，
∵MB∥QN，
∴∠PMB=∠PQN，
∴∠PMB是定值．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两点间距离公式、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组确定两个函数的交点坐标，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．