Question

5．已知，二次函数y=ax²-2ax+a+2（a≠0）图象的顶点为A，与x轴交于B、C两点，D为BC的中点且AD=$\frac{1}{2}$BC，则a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把二次函数配方得出顶点坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，得出BD=CD=AD=2，求出OB=1，OC=3，得出B坐标为（-1，0），代入y=ax²-2ax+a+2求出a的值即可．

解答 解：连接AB、AC，如图所示：
∵二次函数y=ax²-2ax+a+2=a（x-1）²+2，
∴顶点A（1，2），
∵二次函数图象与x轴交于B、C两点，D为BC的中点且AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=AC，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴BD=CD=AD=2，
∴OB=1，OC=3，
∴B（-1，0），代入y=ax²-2ax+a+2得：a+2a+a+2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式、待定系数法、等腰直角三角形的判定与性质；证明△ABC是等腰直角三角形是解决问题的关键．