Question

10．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=4时，写出B点的坐标；
（2）若在矩形运动的同时点P从A点出发，以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动，当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
①当t=4时，求出点P的坐标；
②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出自变量t的取值范围）

Answer 1

分析 （1）由于B（0，3），根据平移法则即可得出结论；
（2）①先判断出先P在边BC上，向右移动的单位数即可得出结论；
②分三种情况利用三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，AB=3，AD=5，∴B（0，3），∵矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向平移了2×4=8个单位长度，∴当t=4时，B（8，3）；
（2）①当t=4时，P点从A点运动到BC上，
过点P作PE⊥AD于点E．
此时A点到E点的时间=8秒，AB+BP=4，
∴BP=1
则PE=AB=3，AE=BP=1
∴OE=OA+AE=8+1=9
∴点P的坐标为（9，3）；
②当②分三种情况：
i.0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×t=t²
ii.3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×3=3t
iii.8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）-（AB+BC+CP）=11-t
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×（11-t）=-t²+11t
综上所述，s与t之间的函数关系式是：
当0＜t≤3时，s=t²；
当3＜t≤8时，s=3t；
当8＜t＜11时，s=-t²+11t；
综上所述，S与t之间的函数关系式是：
当0＜t≤3时，S=t²；
当3＜t≤8时，S=3t；
当8＜t＜11时，S=-t²+11t．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平移的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是（2）②分类讨论的思想解决问题，是一道比较简单的中考常考题．