Question

如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD．
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）已知PE=2，AD=8，求PQ的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据SAS即可证得△ABE≌△ADC；
（2）由）△ABE≌△ADC得出∠CAD=∠ABE，BE=AD=8，从而求得∠BPD=∠APE=∠BAC=60°进而得出∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，根据30°的直角三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABE和△ADC中，

CD=AE ∠ACD=∠BAE=60° AC=AB

，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADC，
∴∠CAD=∠ABE，BE=AD=8，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠BAC=60°，即∠BPD的度数为60°；
∵BQ⊥AD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PB=BE-PE=8-2=6，
∴PQ=

1

2

PB=3．

点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠ABC是解题的关键．