Question

12．如图，己知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是$\widehat{BD}$的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；
（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，由等腰三角形的性质得到BE=2BM，根据平行线的性质得到∠COD=∠B，根据全等三角形的性质得到BM=OC，等量代换即可得到结论．
（3）根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{BC}=\frac{OD}{BF}$，求得BF=$\frac{8-2x}{2-x}$，于是得到EF=BF-BE=$\frac{-2{x}^{2}+6x}{2-x}$，推出BE•EF=-4x²+12x=-4（x-$\frac{3}{2}$）²+9，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OE．
∵$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；

（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，
在△OBM与△ODC中$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠OMB=90°}\\{∠COD=∠B}\\{OD=OM}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△ODC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；

（3）∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴$\frac{OC}{BC}=\frac{OD}{BF}$，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2-x，BE=2OC=4-2x，
∴$\frac{2-x}{4-x}=\frac{2}{BF}$，
∴BF=$\frac{8-2x}{2-x}$，
∴EF=BF-BE=$\frac{-2{x}^{2}+6x}{2-x}$，
∴BE•EF=$\frac{-2{x}^{2}+6x}{2-x}$•2（2-x）=-4x²+12x=-4（x-$\frac{3}{2}$）²+9，
∴当$x=\frac{3}{2}$时，最大值=9．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最大值，圆周角定理，平行线的性质，证得△COD∽△CBF是解决（3）小题的关键．