Question

4．已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足为G，H．
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当α=60°时（如图③），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°（如图④）时，求证：AG•HB=GD•DH．

Answer 1

分析 （1）由题意确定出∠A=∠MDA，利用等角对等边得到MA=MD，利用三线合一得到AG=GD，再由MG垂直于AD，得到AG垂直于AD，进而确定出三角形CDB为等边三角形，根据CH垂直于BD，利用三线合一得到H为BD中点，再由D为AB中点，等量代换即可得证；
（2）AG=DH，理由为：根据题意，利用ASA得到三角形AMD与三角形DNB全等，利用全等三角形对应边相等得到AM=DN，再由两直线平行同位角相等，以及一对直角相等，利用AAS得到三角形AMG与三角形DNH全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）利用两对角相等的三角形相似得到三角形AMG与三角形NHB相似，由相似得比例，再利用两对角相等的三角形相似得到三角形MGD与三角形DHN相似，由相似得比例，等量代换即可得证．

解答 （1）证明：∵∠A=∠MDA=α=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠FDB=90°-α=90°-30°=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形，
又∵CH⊥BD，
∴DH=$\frac{1}{2}$BD，
∵D为AD的中点，
∴AD=BD，
∴AG=DH；                    
（2）解：AG=DH，理由为：
在△AMD和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠NDB}\\{AD=BD}\\{∠B=∠MDA=60°}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DNB（ASA），
∴AM=DN，
又∵∠A=∠NDH=90°-α=90°-60°=30°，∠AGM=∠DHN=90°，
∴△AGM≌△DHN（AAS），
∴AG=DH；                   
（3）证明：在Rt△AGM中，∠A=30°，
∴∠AMG=90°-30°=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴$\frac{MG}{AG}$=$\frac{HB}{NH}$，
∴MG•NH=AG•HB，
∵∠GMD+∠GDM=90°，∠HDN+∠GDM=90°，
∴∠GMD=∠HDN，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴$\frac{GD}{MG}$=$\frac{HN}{DH}$，
∴MG•NH=GD•DH，
∴AG•HB=GD•GH．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．