Question

1．某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y=-10x+600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润．

Answer 1

分析 （1）根据：月利润=（销售单价-成本价）×销售量，从而列出关系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本=成本价×销售量可得答案；
（3）根据销售量低于200件和不低于200件求出x的范围，并根据：利润=每件产品的利润×销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出其最值，比较大小可得．

解答 解：（1）w=（x-30）（-10x+600）=-10x²+900x-18000．

（2）由题意得，-10x²+900x-18000=2000，
解得：x₁=40，x₂=50，
当x=40时，成本为30×（-10×40+600）=6000（元），
当x=50时，成本为30×（-10×50+600）=3000（元），
∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元．

（3）当y＜200时，即：-10x+600＜200，解得：x＞40，
w=（x-32）（-10x+600）=-10（x-46）²+1960，
∵a=-10＜0，x＞40，
∴当x=46时，w_最大值=1960（元）；
当y≥200时，即：-10x+600≥200，解得：x≤40，
w=（x-32+4）（-10x+600）=-10（x-44）²+2560，
∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下，当32＜x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w_最大值=2400（元），
∵1960＜2400，
∴当x=40时，w最大，
答：定价每件40元时，每月销售新产品的利润最大，最大利润为2400元．

点评 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．