Question

有一座圆弧形拱桥，在水深为L时，拱桥离水面2米，水面宽4米，有一艘顶部宽3米，高出水面1.5米的小船，问：这艘小船能顺利通过这座桥吗？若不能通过，水面至少下降多少米后才能通过？

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理

专题：计算题

分析：先根据实物图画出几何图，如图，弦AB=4，拱形高CD=2，DE=1.5，作FH⊥CD于D，连接OF，OA，由于CD为拱形高，根据垂径定理得到CD垂直平分AB，得到圆心O在CD上，AD=BD=2，在Rt△OAD中，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，AD=2，根据勾股定理得r²=2²+（r-2）²，解得r=2，则AB为⊙O的直径，DC为半径，在Rt△OFH中，利用勾股定理计算出OH=

7

2

≈1.32，由于1.5-1.32=0.18，于是可判断这艘小船不能通过，水面至少下降0.18米后才能通过．

解答：解：如图，弦AB=4，拱形高CD=2，DE=1.5，
作FH⊥CD于D，连接OF，OA，
∵CD为拱形高，
∴CD垂直平分AB，
∴圆心O在CD上，AD=BD=2，
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，AD=2，
∵OA²=AD²+OD²，
∴r²=2²+（r-2）²，解得r=2，
∴AB为⊙O的直径，DC为半径，
在Rt△OFH中，OH=

OF2-FH2

=

22-1．52

=

7

2

≈1.32，
∵1.5-1.32=0.18，
∴不能通过，水面至少下降0.18米后才能通过．

点评：本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．