Question

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2mx-m²+3m的顶点坐标为A，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为D，B，抛物线与y轴交于点C．
（1）用含m的代数式表示点A的坐标和BC的长度；
（2）当m＞0时，如图（2），记抛物线与x轴正半轴交于点E，连结BE交AD于F，当

AB

DE

=

2

3

时，求抛物线的解析式；
（3）探索是否存在m，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=-x²+2mx-m²+3m的顶点坐标公式，得到A点的坐标为（m，3m），由题意确定B点坐标，令x=0，求出y的值，确定C点的坐标，从而计算BC的长度；
（2）由

AB

DE

=

2

3

，用m表示DE=

3

2

m，进而表示OE=

5

2

m，所以E（

5

2

m，0），然后将E（

5

2

m，0）代入y=-x²+2mx-m²+3m得到m的值，然后将m的值再代入y=-x²+2mx-m²+3m即可；
（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BC=AD，即：m²=3m，∴m₁=0，m₂=3．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+2mx-m²+3m的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴A点的坐标为（m，3m），
∵过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为D，B，
∴B（0，3m），D（m，0），AB=OD=m，AD=OB=3m，
∴OB=3m，
令y=-x²+2mx-m²+3m中的x=0，得y=-m²+3m，
∴C（0，-m²+3m），
∴|OC|=|-m²+3m|，
∴|BC|=3m-（-m²+3m）=m²．
（2）∵

AB

DE

=

2

3

，
即：

m

DE

=

2

3

，
∴DE=

3

2

m，
∵OE=OD+DE=

5

2

m，
∴E（

5

2

m，0），
将E（

5

2

m，0）代入y=-x²+2mx-m²+3m得，
m₁=0（舍去），m2=

4

3

，
将m2=

4

3

代入y=-x²+2mx-m²+3m得，
y=-x2+

8

3

x+

20

9

．
（3）存在m，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
则BC=AD，
即：m²=3m，
∴m₁=0，m₂=3，
∴存在m，m₁=0，m₂=3，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题考查了二次函数的综合题：先根据顶点坐标公式表示顶点的坐标，再利用坐标表示线段的长，然后利用待定系数法求函数的解析式，同时考查了平行四边形的性质定理以及一元二次方程的解法．