Question

如图所示，直线l过A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax²的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为

9

2

．
（1）求点P的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）能否将抛物线y=ax²上下平移，使平移后的抛物线经过点A？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为

9

2

求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标；
（2）把点P的坐标代入y=ax²，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）设将抛物线y=ax²上下平移后的解析式为y=ax²+m，把点A坐标代入，求出m的值即可．

解答：解：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，
∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴4k+b=0，b=4，
∴k=-1，b=4，
∴y=-x+4，
∵△AOP的面积为

9

2

，
∴

1

2

×4×y_p=

9

2

，
∴y_p=

9

4

，
∴

9

4

=-x+4，
解得x=

7

4

，
∴点P的坐标为（

7

4

，

9

4

）；

（2）把点P（

7

4

，

9

4

）代入y=ax²，
得

9

4

=a×（

7

4

）²，
解得a=

36

49

，
故二次函数的解析式为y=

36

49

x²；

（3）设将抛物线y=

36

49

x²上下平移后的解析式为y=

36

49

x²+m，
把点A（4，0）代入，得y=

36

49

×4²+m，
解得m=-

576

49

，
故能将抛物线y=ax²向下平移

576

49

个单位长度，使平移后的抛物线经过点A．

点评：此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力．