Question

如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若BC=BF=5，AF=2，CF=6，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）如图，连接AE、BD，连接EB交CF于点O．结合（1）可以判定平行四边形BCEF为菱形，则菱形的对角线互相平分、垂直．在直角△BOF中，由勾股定理得到：BO=4．根据三角形的面积公式可以求得四边形AEDB的面积．

解答：（1）证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE   ∠A=∠D   AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：如图，连接AE、BD，连接EB交CF于点O．
由（1）知，四边形BCEF是平行四边形．
∵BC=BF，
∴平行四边形BCEF为菱形，
∴EB⊥FC，FO=OC=

1

2

FC=3．
∴在直角△BOF中，由勾股定理得到：BO=

BF2-FO2

=

52-32

=4，
∴BE=2BO=8．
又∵AF=DC，
∴AD=2AF+FC=10，
∴S_{四边形AEDB}=S_△ABD+S_△AED=

1

2

AD•BO+

1

2

AD•EO=

1

2

AD•BE=

1

2

×10×8=40，即四边形AEDB的面积是40．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．