Question

已知一副三角板ABE与ACD．图中∠ACD=30°，∠BAE=∠AEB=45°，∠ABE=∠CAD=90°．

（1）将两个三角板如图（1）放置，连结BD，计算∠1+∠2=

 

．
（2）将图1中的三角板ABE绕点A顺时针旋转一个锐角∠α．
①在旋转的过程中，当B点在直线CD的上方时，如图2，探究∠α、∠1、∠2间的数量关系，并说明理由？
②在旋转的过程中，当B点运动到直线CD的下方时，如图3，探究∠α、∠1、∠2间的数量关系，并直接写出此时的关系式．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：探究型

分析：（1）利用三角板ABE和ACD的角度和三角形的内角和求出即可；
（2）①∠1+∠2=105°．如图2，设AC与BE交于点N，BE与CD交于点F．易求∠CNE=45°+∠α，∠BFC=180-30°-45°-∠α=105°-∠α，则∠1+∠2=105°
②∠α-∠1+∠2=105°．理由如下：∠AFC=∠2+90°-∠1，∠CAB=60°+∠1-∠2．∠α=45°+60°+∠1-∠2=105°+∠1-∠2．所以∠α-∠1+∠2=105°．

解答：解：（1）由题意可知．
Rt△ABE为等腰直角三角形，Rt△ADC为含有60°角的直角三角形，
∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+30°=75°，
∴∠1+∠2=180°-∠BCD=105°．
故答案是：105°；

（2）①∠1+∠2=105°．
如图2，设AC与BE交于点N，BE与CD交于点F
由题意可知∠BAC=45°-∠α
∠BNA=90°-（45°-α）=45°+∠α
∴∠CNE=45°+∠α
∴∠BFC=180°-30°-45°-∠α=105°-∠α
又∵∠1+∠2=∠BFC=115°-∠α
∴∠1+∠2+∠α=105°-∠α+∠α=105°，
即∠1+∠2=105°；

②∠α-∠1+∠2=105°．理由如下：
如图3，设AB与DC相交于点F
由题意可知，∠AFC=∠2+90°-∠1
∴∠CAB=180°-90°+∠1-∠2-30°=60°+∠1-∠2
又∵∠BAE=45°
∴∠α=45°+60°+∠1-∠2=105°+∠1-∠2
∴∠α-∠1+∠2=105°．

点评：此题考查平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角等知识．解答关于三角形内角和定理的题目，需要知道三角形内角和是180°．