Question

已知：如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至点D，使AD=AC，取AC的中点为F，连DF交BC于点G，并延长至点E，使AE=CE．
（1）求证：△ABC≌△ADF；
（2）求证：BG=FG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）依据等腰三角形的性质得出ED⊥AC，然后依据全等三角形的条件求得三角形全等．
（2）由三角形全等得出AB=AF，连接AG得出三角形ABG与三角形AFG全等即可求得．

解答：（1）证明：∵AE=CE，F为AC的中点，
∴EF⊥AC
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠AFD，
∴∠DAC+∠D=90°，
∵∠DAC+∠ACB=90°
∴∠D=∠ACB
在△ABC和△ADF中，

∠D=∠ACB AD=AC ∠BAC=∠FAD

∴△ABC≌△ADF（ASA）

（2）∴△ABC≌△ADF
∴AB=AF        
连接AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AG=AG AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）
∴BG=FG

点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和直角三角形全等的判定等．