Question

11．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（5，0），点D的纵坐标为4，点P是对角线OC上一动点，E（0，-1），当EP+BP最短时，点P的坐标为（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

Answer 1

分析 点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．

解答 解：连接ED，如图，

∵点B关于OC的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（5，0），
∴OD=OB=5，
∵点D的纵坐标为4，
∴点D的坐标为（3，4），
∴点C的坐标为（8，4），
∴可得直线OC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，
∵点E的坐标为（0，-1），
∴可得直线ED的解析式为：y=$\frac{5}{3}$x-1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{5}{3}x-1}\end{array}\right.$的解，
解方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{7}}\\{y=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
所以点P的坐标为（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$），
故答案为：（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

点评 此题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．