Question

如图，直线y=

1

2

x+2分别与x轴、y轴相交于A、B，与双曲线y=

k

x

（其中x＞0）相交于第一象限内的点P（2，y₀），作PC⊥x轴于C．
（1）求双曲线的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式

1

2

x+2＞

k

x

的解集；
（3）在（1）中所求的双曲线上是否存在点Q（m，n）（其中m＞0），作QH⊥x轴于H，使得△QCH与△AOB相似？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把点P（2，y₀）代入直线y=

1

2

x+2求出y₀的值，再代入反比例函数y=

k

x

求出k的值即可；
（2）直接根据函数的图象即可得出不等式的解集；
（3）先求出A点坐标，再根据△QCH∽△AOB即可得出Q点的坐标．

解答：解：（1）∵点P（2，y₀）在直线y=

1

2

x+2上，
∴y₀=

1

2

×2+2=3，
∴点P（2，3），
∴3=

k

2

，
解得k=6，
∴双曲线的解析式为y=

6

x

（x＞0）；

（2）∵由函数图象可知，当x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式

1

2

x+2＞

k

x

的解集为：x＞2；

（3）∵A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵Q（m，n）在双曲线y=

6

x

（x＞0）上，
∴n=

6

m

，
当△AOB∽△CHQ时，

AO

CH

=

OB

HQ

，即

4

m-2

=

2

6 m

，解得m=1+

13

或
m=1-

13

（舍去），
∴Q（1+

13

，

13 -1

2

）；
当△AOB∽△QHC时，

AO

QH

=

OB

CH

，即

4

6 m

=

2

2-m

，即m²-2m+3=0，
∵△＜0，
∴此种情况不存在．
∴Q（1+

13

，

13 -1

2

）．

点评：本题考查的是反比例函数的综合题，考查了用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，难度适中．