Question

在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），那么点A_n的纵坐标是（　　）

• A、(

  3

  2

  )n-1
• B、(

  3

  2

  )n
• C、(

  3

  2

  )2n
• D、(

  3

  2

  )n+1

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：规律型

分析：先利用待定系数法确定一次函数解析式为y=

1

5

x+

4

5

，再作A₁C⊥x轴于C，A₂D⊥x轴于D，A₃H⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质得A₁C=1，A₂D=

3

2

，设A₃H=t，于是可表示出A₃的坐标为（5+t，t），接着把A₃（5+t，t）代入y=

1

5

x+

4

5

可解得t=

9

4

，所以点A₃的纵坐标为（

3

2

）²，同理可得点A₄的纵坐标为（

3

2

）³，按此规律可得点A_n的纵坐标为（

3

2

）^n-1．

解答：解：把A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）代入y=kx+b得

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，解得

k= 1 5 b= 4 5

，
所以一次函数解析式为y=

1

5

x+

4

5

，
作A₁C⊥x轴于C，A₂D⊥x轴于D，A₃H⊥x轴于H，如图，
则A₁C=1，A₂D=

3

2

，设A₃H=t，
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，
∴OB₁=2，B₁B₂=3，B₂H=t，
∴A₃的坐标为（5+t，t），
把A₃（5+t，t）代入y=

1

5

x+

4

5

得

1

5

（5+t）+

4

5

=t，解得t=

9

4

，
即点A₃的纵坐标为（

3

2

）²，
同理可得点A₄的纵坐标为（

3

2

）³，
所以点A_n的纵坐标为（

3

2

）^n-1．
故选A．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．