Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使得DC=CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE．
（1）求证：∠D=∠E；
（2）若AB=4，

AC

的长度为

2

3

π，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）首先证明AD=AB，这是解决问题的关键；进而得到∠D=∠B；而∠B=∠E，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；先求出∠AOC=60°，进而求出∠B=30°；运用直角三角形的性质求出OF、BC的长，借助扇形的面积公式、直角三角形的面积公式即可解决问题．

解答：解：（1）∵AB是圆O直径，
∴AC⊥BD；
又∵DC=BC，
∴AC⊥BD，且平分BD，
∴AD=AB，
∴∠D=∠B；
∵∠B=∠E
∴∠D=∠E．
（2）如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F．
设∠AOC=α度，由弧长公式得：

2απ

180

=

2π

3

，
∴α=60，即∠AOC=60°；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，而∠AOC=∠OBC+∠OCB，
∴∠B=30°，AC=

1

2

AB=2；OF=

1

2

OB=1；
∵cos30°=

BC

AB

，
∴BC=2

3

；
S_阴影=S_扇形AOC+S_△BOC
=

1

2

×

2

3

π×2+

1

2

×2

3

×1
=

2π

3

+

3

．

点评：该题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的性质、扇形的面积公式等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．