Question

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿线段AB向点B运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿折线B-C-A运动，且速度为每秒2cm，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据题意可知AP=t，BQ=2t，根据条件可得到BP=BQ，得到关于t的方程可求得t；
（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程，求出t即可．

解答：解：（1）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即8-t=2t，解得t=

8

3

，
∴出发

8

3

秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=

1

2

CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=

24

5

，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，即6²=（

24

5

）²+（t-3）²，解得t=

33

5

或t=-

3

5

＜0（舍去）；

当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，
当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=

1

2

AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，
综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=

33

5

或t=6或t=5.5．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，利用t表示出线段的长度，化动为静是解决这类问题的常用思路．