Question

17．解方程：（$\sqrt{2}$+1）^x+（$\sqrt{2}$-1）^x=6．

Answer 1

分析 原方程两边同乘（$\sqrt{2}$+1）^x整理得：（$\sqrt{2}$+1）^2x-6（$\sqrt{2}$+1）^x+1=0，设（$\sqrt{2}$+1）^x=y，则化为y²-6y+1=0，用公式法解方程求得y的值，再把y=-2和2分别代入（$\sqrt{2}$+1）^x=y，即可确定原方程的解．

解答 解：原方程两边同乘（$\sqrt{2}$+1）^x整理得：（$\sqrt{2}$+1）^2x-6（$\sqrt{2}$+1）^x+1=0，
设（$\sqrt{2}$+1）^x=y，则y²-6y+1=0，
∵b²-4ac=36-4=32＞0，
∴y=$\frac{6±\sqrt{32}}{2}$，
∴y₁=3+2$\sqrt{2}$，y₂=3-2$\sqrt{2}$，
当（$\sqrt{2}$+1）^x=3+2$\sqrt{2}$时，x=2，
当（$\sqrt{2}$+1）^x=3-2$\sqrt{2}$时，x=-2，
∴原方程的解为：x₁=2，x₂=-2．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成简单方程．