Question

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点分别是A（3，0），B（3，4），C（0，4），点D在BC上，以D为顶点的抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为E，且对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，0）是x轴的正半轴上的一个动点，过点P作DE的平行线，与折线C-B-A交于点Q，与抛物线交于点H，连接DE、AC、DE与OC、AC的交点分别为F，G．
①求△DGQ的面积S与m的函数关系式；
②当m为何值时，以点D、F、H、P为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由条件可先得出抛物线顶点坐标，从而直接将抛物线解析式设为顶点式，再将A点坐标代入即可求出解析式；
（2）①由△CDG∽△AEG算出DG，由于PQ∥DE，所以，过P作PM⊥DE于M，由△PEM∽FEO算出PM即可求出△DGQ的面积；
②分两种情况讨论：
当P在线段OA上，且PH∥DF，PH=DF时，四边形DFPH为平行四边形；
当P在线段OA的延长线上，且PH∥DF，PH=DF时，四边形DFPH为平行四边形．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把点A的坐标为（3，0）代入抛物线的解析式得：4a+4=0
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3．
（2）①当y=0时，-x²+2x+3=0．
解得x₁=-1，x₂=3，
∴E点坐标为（-1，0），AE=4．
∴OE=CD=1，
∴△EOF≌△DCF．
∴OF=CF=$\frac{1}{2}$，OC=2．
根据勾股定理，EF=DF=2$\sqrt{5}$，
∴DE=4$\sqrt{5}$．
∵CD∥AE，∴△CDG∽△AEG，∴$\frac{DG}{GE}=\frac{CD}{AE}=\frac{1}{4}$．
∴DG=$\frac{1}{5}$，DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
过点P作PM⊥DE，垂足为M，如图，

则△PEM∽FEO，得$\frac{PM}{PE}=\frac{OF}{EF}$，
∴$\frac{PM}{m+1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}（m+1）$，
∴△DGQ的面积S与m的函数关系式为：
S=$\frac{1}{2}$DG•PM=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m+1），即S=$\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}$（0≤m≤3）．

②分两种情况：
如图，当P在线段OA上，且PH∥DF，PH=DF时，四边形DFPH为平行四边形，

过H作HN⊥OA，垂足为N，这时易证△CDF≌△NPH，
∴PN=CD=1，HN=CF=2，
∴H点的坐标为（m+1，2）把H点的坐标代入抛物线的解析式得：
-（m+1）²+2（m+1）+3=2
解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）

如图，当P在线段OA的延长线上，且PH∥DF，PH=DF时，

四边形DFHP为平行四边形，
过H作HN′⊥OA，垂足为N′，同理可得△CDF≌N′PH，
∴PN′=CD=1，HN′=CF=2，
∴H点的坐标为（m-1，-2）
把H点的坐标代入抛物线的解析式得：
-（m-1）²+2（m-1）+3=-2，
解得m=2+$\sqrt{6}$或m=2-$\sqrt{6}$（不合题意，舍去）
∴当m的值为$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{6}$时，以点D，F，H，P为顶点的四边形为平行四边形．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积求法、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识点，难度中等．注意最后一问分类讨论思想的应用．