Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（-3，2）和点B（1，m），连接BO并延长与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点C．
（1）求一次函数y=k₁x+b和反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表达式；
（2）是否在双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上存在一点D，使得以点A、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入反比例解析式求出k₂的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k₁与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据中心对称求得C的坐标，然后根据平移的性质和A、C、B的坐标即可求得D的坐标，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设直线AB交y轴于E，则E（0，-4），根据S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE求得△AOB的面积，进而即可求得平行四边形的面积．

解答 解：（1）将A（-3，2）代入反比例解析式得：k₂=-6，
则反比例解析式为y=-$\frac{6}{x}$；
将B（1，m）代入反比例解析式得：m=-6，即B（1，-6），
将A与B坐标代入y=k₁x+b中，得：$\left\{\begin{array}{l}{-3{k}_{1}+b=2}\\{{k}_{1}+b=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=-2x-4；
（2）存在，
∵B、C关于原点对称，B（1，-6），
∴C（-1，6），
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴设直线CD的解析式为y=-2x+n，
代入C（-1，6）得，6=2+n，
解得n=4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴D（3，-2）；
作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设直线AB交y轴于E，则E（0，-4），
∴OE=4，
∴S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE=$\frac{1}{2}$OE•AM+$\frac{1}{2}$OE•BN
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8，
∴S_{平行四边形}=4S=4×8=32．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．