Question

2．如图，⊙O的直径AB=4，AC是弦，沿AC折叠劣弧$\widehat{AB}$，记折叠后的劣弧为$\widehat{AmC}$，当$\widehat{AmC}$经过圆心O时，图中阴影部分的面积为$\sqrt{3}$；当$\widehat{AmC}$与直径AB交于点D时，设AC=x，BD=y，则y关于x的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²+8．

Answer 1

分析 如图1，作半径OE⊥AC于F，如图1，根据折叠的性质得OF=$\frac{1}{2}$OE=1，由OE⊥AC，根据垂径定理得AF=CF，再在Rt△OAF中，利用勾股定理计算出AF=$\sqrt{3}$，所以AC=2AF=2$\sqrt{3}$，然后根据扇形和三角形的面积公式计算即可；如图2，设弧AMC所在圆的圆心为P，作PH⊥AB于H，连结OP、PD、BC，由于点P和点O关于AC对称，得到AC垂直平分OP，在Rt△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}$，在Rt△OPH中，OP=$\sqrt{P{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{2y}$，推出OP∥BC，由平行线的性质得到∠POH=∠CBA，证得Rt△ACB∽Rt△PHO，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 解：作半径OE⊥AC于F，如图1，
∵沿AC折叠劣弧$\widehat{AC}$，记折叠后的劣弧为$\widehat{AmC}$．
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴∠AOF=60°，∴∠ADC=120°，
∵OE⊥AC，
∴AF=CF，
在Rt△OAF中，OA=2，OF=1，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形OAEC-S_△AOC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$；
设弧AMC所在圆的圆心为P，
作PH⊥AB于H，连结OP、PD、BC，如图2，
∵点P和点O关于AC对称，
∴AC垂直平分OP，
∴AP=AO=2，
∵AB=4，BD=y，
∴AD=4-y，
∵PH⊥AD，
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD=2-$\frac{1}{2}$y，
∴OH=OA-AH=$\frac{1}{2}$y，
在Rt△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}$，
在Rt△OPH中，OP=$\sqrt{P{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{2y}$，
∵沿AC折叠劣弧$\widehat{AC}$，记折叠后的劣弧为$\widehat{AmC}$，
∴OP⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POH=∠CBA，
∴Rt△ACB∽Rt△PHO，
∴$\frac{AC}{PH}=\frac{AB}{PO}$，
∴AC=$\frac{4•\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}}{\sqrt{2y}}$=$\sqrt{16-2y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+8．
故答案为：$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{2}$x²+8．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质．