Question

17．△ABC中，AB=AC，D、G、F分别是BC、AB、AC的中点，过G、F、D三点作⊙O．
（1）如图1，求证：⊙O与BC相切；
（2）如图2，若∠A=36°，BC=2，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）连接DG，DF，OG，OF，AO，OD，根据已知条件得到△AGO≌△AFO，求得∠AOG=∠AOF，通过△ODG≌△ODF，得到∠COD=∠DOF，推出A，O，D三点共线，根据切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的中位线的性质得到DG∥AC，DF∥AB，由平行线的性质得到∠BGD=∠BAC=36°，推出△BDM，△DGM是等腰三角形，求得BD=DM=MG=$\frac{1}{2}$BC=1，根据切割线定理得到结论．

解答 解：（1）连接DG，DF，OG，OF，AO，OD，
∵AB=AB，D，G、F分别是BC，AB、AC的中点，
∴AG=AF，DG=$\frac{1}{2}$AC=DF=$\frac{1}{2}$AB，
在△AGO与△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{OG=OF}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AGO≌△AFO，
∴∠AOG=∠AOF，
在△ODG与△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OF}\\{OD=OD}\\{DG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ODG≌△ODF，
∴∠COD=∠DOF，
∴∠AOC+∠DOG=$\frac{1}{2}×$360°=180°，
∴A，O，D三点共线，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴⊙O与BC相切；

（2）∵AB=AC，D、G、F分别是BC、AB、AC的中点，
∴DG∥AC，DF∥AB，
∴∠BGD=∠BAC=36°，
∵⊙O与BC相切，
∴∠BDM=∠BAC=36°，
∴△BDM，△DGM是等腰三角形，
∴BD=DM=MG=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵BD²=BM•BG，
∴1²=BG•（BG-1），
∴BG=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．