Question

已知：△ABC中，AE平分∠BAC．
（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=30°，则∠DAE=

 

；
（2）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，求∠EFG的度数；
（3）在（2）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的角度大小发生改变吗？说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：（1）由AD⊥BC可得到∠BAD=90°-∠B，再根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-（∠B+∠C），再根据角平分线定义得∠BAE=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

（∠B+∠C），所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=

1

2

（∠C-∠B），然后把∠C=70°，∠B=30°代入计算；
（2）由于AD⊥BC，FG⊥BC，则AD∥FG，根据平行线的性质得∠EFG=∠DAE，然后根据（1）中的结论得∠DAE=

1

2

（∠C-∠B）=20°，所以∠EFG=20°；
（3）与（2）的求法一样．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B，
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE
=90°-∠B-90°+

1

2

（∠B+∠C），
=

1

2

（∠C-∠B），
=

1

2

（70°-30°）
=20°；
故答案为20°；
（2）∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE，
∵∠DAE=

1

2

（∠C-∠B）=

1

2

（80°-40°）=20°，
∴∠EFG=20°；
（3）∠EFG不变．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE，
∵∠DAE=

1

2

（∠C-∠B）=

1

2

（80°-40°）=20°，
∴∠EFG=20°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．