题目内容
20．先阅读并填空，再解答问题：我们知道$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，那么$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，用含有n的式子表示你发现的规律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并依此计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．
分析 分子为1，分母为相邻2个自然数的分数应等于分子为1，分母分别为这两个自然数的分数的差，依此规律得到所要计算的式子的每个分数等于分子为1，分母分别为原分数中2个因数的分数的差的一半，进而化解计算即可．
解答 解：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1007}{4032}$．
点评 此题考查数的变化规律的应用；得到分子为1，分母为2个等差的数的积的分数的化简规律是解决本题的关键．
练习册系列答案
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若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A=n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2的图象分别交x、y轴于点A，B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0）且把△AOB的面积分成两部分．
已知：在△ABC与△DEF中，AN⊥BC于N，DG⊥EF于G，$\frac{AB}{DG}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{AN}{DG}$，求证：△ABC∽△DEF．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦AD于点E，连OD交AC于点F．
9．某篮球队教练记录了该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
（1）填表求该前锋罚篮命中的频率（保留三个有效数字）；
（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是什么吗？
| 练习罚球次数 | 30 | 60 | 90 | 150 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| 罚中次数 | 27 | 45 | 78 | 118 | 161 | 239 | 322 | 401 |
| 罚中频率 |
（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是什么吗？
