Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x。
（1）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=，∠C=45°，
∴DN=CN=CD·sin∠C=4×=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DPB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）由（2）知，当BP'=11时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，
∵CD=，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP'=BP'-BN=BP'-（BC-CN）=11-12+4=3,
∴DP'===5，
∴EP'=DP'，
故此时□P'DAE是菱形.
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形。