Question

16．如图，正方形AOBC在第一象限内，点C（2，2），E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，且使AE=EF，请你画出点F的纵坐标随着横坐标变化的函数图象．

Answer 1

分析 作FG⊥x轴于G，先证明△AOE≌△EGF，再证明BF平分∠CBG即可，求出直线BF的解析式即可，注意自变量的取值范围．

解答 解：作FG⊥x轴于G．
∵∠AEF═∠EGF=90°，
∴∠AEO+∠FEG=90°，∠FEG+∠FGE=90°，
∴∠AEO=∠FGE，
在△AEO和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠EFG}\\{∠AOE=∠EGF=90°}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△EGF，
∴OE=FG，AO=EG=OB，
∴OE=BG=FG，
∴∠GBF=45°，
∴BF平分∠CBG，
∴点F在∠CBG的平分线上，设直线BF解析式为y=kx+b，
设E（a，0）（0＜a＜2）
∴EO=FG=a；  AO=EG=2
∴OG=a+2
∴F（a+2，a）
则$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）k+b=a}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直线BF的解析式为y=x-2，（2＜x＜4），
点F的纵坐标随着横坐标变化的函数图象如图所示．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，易错点是自变量的范围的确定，属于中考常考题型．