Question

7．已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．
（1）求∠ECF的度数；
（2）求证：△DEF为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先依据等腰直角三角形的性质求得∠ECA、∠FCB的度数，然后依据∠ECA+∠ECF+∠FCB=180°求解即可；
（2）延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG，然后依据SAS证明△EDA≌△GDB，接下来依据SAS证明△ECF≌△GBF，最后再证明△EFD≌△GFD，从而可证明△DEF为等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵△ACE和△CBF均为等腰直角三角形，
∴∠ECA=45°，∠FCB=45°．
∵∠ECA+∠ECF+∠FCB=180°，
∴∠ECF=90°．
（2）证明：延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG．

∵D为线段AB的中点，
∴AD=BD．
∵在△EDA和△GDB中$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠EDA=∠GDB}\\{DA=DB}\end{array}\right.$，
∴△EDA≌△GDB（SAS）．
∴EA=GB，∠A=∠GBD=45°．
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
∴CF=FB，AE=EC，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°．
∴CF=FB，EC=BG，∠ECF=90°．
∵在△ECF和△GBF中$\left\{\begin{array}{l}{EC=BG}\\{∠ECF=∠GBF}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△GBF（SAS）．
∴EF=GF，∠EFC=∠GFB．
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°，
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°．
∵在△EFD和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{EF=GF}\\{FD=FD}\\{ED=GD}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFD．
∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°．
∴ED=DF
∴△DEF为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，解答本题需要同学们熟练掌握全等三角形的性质和判定，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．